Задачи комбинаторики

Повторяем цифры

Для закрепления цифр будут полезны игры, в которых ребенку нужно найти одинаковые цифры и совместить их. Например, можно подбирать домики к игрушкам по номерам, расставлять машинки по пронумерованным гаражам и т.д.

Или сыграть в математическую игру «Паровозик». Для этого нарисуйте на бумаге или соорудите из конструктора паровоз, пронумеровав вагоны. Каждый пассажир, подходя, будет называть номер своего вагона, а малыш пускай рассаживает всех по местам.

Еще в запоминании цифр хорошо помогут книги со стихами про цифры вроде «Веселого счета» Маршака (Ozon, Лабиринт, My-shop). Нам повезло, и размер цифр в книге точно подходил под размер наших мягких цифр, так что мы их накладывали во время чтения.

Еще мне очень нравится «Веселый счет» Н. Владимировой (Ozon, Лабиринт, My-shop), о нем я писала раньше .

Состав числа

Очень полезно раскладывать с ребенком числа на его составляющие (например, 3 это 2+1, 1+1+1, 3+0). Это поможет ребенку при счете в дальнейшем. Варианты игр:

• Смотри, у нас с тобой есть три яблока, давай разделим их между мишкой и зайкой. Одно яблоко мы дадим зайке, а два – мишке. Попробуйте по-разному перераспределять яблоки между игрушками, показывая разные варианты разложения числа.

• Можно закрепить на вешалку несколько прищепок, по краям установить небольшие игрушки и перераспределять между ними прищепки, представив, что это, например, конфеты. Получилась отличная замена обычным скучным счетам. Другой вариант: можно надеть баранки на ленточку и точно также их перераспределять, проговаривая, кому сколько досталось.

Количественный и порядковый счёт

Виды счета: количественный и порядковый счет

Здравствуйте, уважаемые друзья!

Итак, четвертое занятие первой темы.

Как вы выполнили домашнее задание с Вашим ребенком? Как его успехи? Усвоен ли весь материал? Вы смогли работать с ним по математике? Если ребенок еще не все постиг, то не отчаивайтесь и не ругайте его! Тем не менее Вам надо настойчиво будоражить вопросами по теме — ненароком, как бы играя! Надеюсь, Вы так и поступаете! Если появляются вопросы ко мне, пишите в комментарии. Я и, надеюсь, другие родители, ответим Вам!

Вы провели с ребенком Тест на «Рисунок семьи»? Каковы результаты? Вы довольны или есть, над чем задуматься? Если появились проблемы, решайте их немедленно! Пишите в комментарии.

А сегодня переходим к следующей подтеме «Количественный и порядковый счет». Ребенок должен знать названия «количественный счет» и «порядковый счет» и их отличие. А отличаются они вопросом, на который отвечают.

При количественном счете мы отвечаем на вопрос «сколько?» (ребенок должен это знать наизусть. Проверять его надо так: «На какой вопрос мы отвечаем при количественном счете?» Спрашивать частенько и добивайтесь, чтобы ребенок давал полный ответ, как написано).

Например, сколько игрушек? (Пять). Сколько синих палочек? (Три). Как видим, до этого мы занимались только количественным счетом, при котором нужно знать только общее количество предметов – сколько их? Поэтому все равно, в каком порядке считать предметы. И в этом ребенку нет проблем, он легко называет количество предметов.

Важным является условие:

— не пропустить при счете ни одного предмета или не посчитать какой-нибудь предмет дважды.

Ненавязчиво и не поучительно объясните это ребенку. Например, такая игровая ситуация.

— Посмотри, какие красивые березки. Сколько их?

— Шесть.

— А я посчитал, что семь. Ты правильно посчитал?

— Да, шесть.

— Ой, я виноват. Я два раза посчитал одну и ту же березку. Надо быть очень внимательным при счете.

При порядковом счете отвечаем на вопрос «который по счету?» (ребенок должен это знать наизусть. Проверять его надо так: «На какой вопрос мы отвечаем при порядковом счете?» Спрашивать частенько и добивайтесь, чтобы ребенок давал полный ответ, как написано).

Например, первый, второй, третий, четвертый, пятый, шестой, седьмой, восьмой, девятый, десятый. В парке которая по счету от нас красная лавочка? — Шестая. — Правильно! И в этом случае интересует не общее количество предметов, а которым по счету находится предмет, нужный нам

Важно только указать, в какой последовательности должен идти счет, начиная от какого предмета. На первых порах рекомендую, чтобы при количественном счете ребенок называл каждый предмет

Например, машина – первая, зайка – второй, морковка – третья и т.д. Вскоре отпадет эта необходимость. Выложите пять палочек разных цветов. Которая по счету красная палочка? – Красная — третья. Из всех игрушек, который по счету цыпленок? – Цыпленок — четвертый.

Урок заканчивается. На следующем занятии мы узнаем, как научить детей выполнять счетные операции в пределах 10.

Предупреждаю родителей, что не следует самим обучать ребенка писать цифры или буквы. Оставьте это дело профессионалам, чтобы не пришлось переучивать детей, а это отрицательно сказывается на их психике и отношении к учебе и к учителю. Потому что для ребенка авторитет родителей очень велик, а учителю приходится переучивать то, что сделано родителем.

Домашнее задание для родителей: продолжать работать над предыдущими уроками и в этом уроке добивайтесь обязательно правильного ответа ребенком на поставленный Вами вопрос о количественном и порядковом счете.

Через 2 недели мы перейдем к изучению второй темы и поговорим о развитии мелкой моторики кисти.

Любите своих детей и берегите их!!!

Удачи во всем!

P.S

Обратите внимание на короткий неврологический тест для родителей. Попробуйте его пройти и улыбнитесь

Возможно, это правда. Дайте пройти его Вашим родителям!

Удачи!!!

Вернуться к предыдущей подтеме

Перейти к короткому неврологическому тесту для родителей

Перейти к следующей теме

Считаем и решаем примеры до 20

Когда счет до 10 был освоен и ребенок стал свободно ориентироваться в первой десятке цифр, наступает время переходить на новый этап и обучаться двузначным числам, считать примеры в пределах 20.

Запоминаем цифры

Чтобы ребенок хорошо запоминал последовательность цифр, лучше всего использовать 20 одинаковых предметов (это даст возможность наглядно все объяснять малышу) или опять же карточки с числами.

Выглядеть это будет так:

Поясняем ребенку, что в числах после 10 есть сходство. Визуализируя таким образом числа и десятки, вы поможете ребенку эффективнее запомнить их последовательность и названия. Видим число 11 – говорим «один» и прибавляем окончание «надцать». Так же поступаем и с другими двузначными числами – «три-надцать», «пять-надцать», «шесть-надцать» и т. д.

Работайте с ребенком на повторение, пока он не запомнит названия чисел.

Решаем примеры

Прежде чем приступить к решению примеров и обучению в пределах двадцати, дошкольник должен уяснить такие понятия, как «десятки» и «единицы». Для начального этапа обучения можно использовать кубики, палочки или попробовать учиться на счетах, а потом уже приучать малыша считать в уме. В возрасте 5 или 6 лет он должен уметь считать без помощи пальцев и других посторонних предметов.

Для первых занятий лучше использовать такие упражнения для детей, в которых не нужно совершать вычисления с переходом через десяток. Подойдут примеры, где все математические действия происходят с целым десятком или десятками и с некоторым количеством единиц, которые прибавляются либо вычитаются.

То есть десяток – основа всего примера.

Сложите кубики, палочки или другие предметы, с которыми вы работаете, по порядку в количестве 10 штук. Объясните малышу, что это десяток. Потом попросите прибавить к этому количеству еще несколько предметов, допустим 4. Говорите: «Десять плюс четыре равно четырнадцать». После того, как вы научили ребенка складывать, подобным образом составьте примеры с вычитанием, например:

18-8=10

13-10=3 и т. д.

Следующий этап – вычисления с переходом через десяток. Такие примеры даются ребятам несколько сложнее. Здесь уже понадобятся знания не только целых десятков и отдельных единиц, но и общее представление состава отдельного числа.

• Из чего состоит число 3? Из 1 и 2, или 1 и 1 и 1.
• А что такое 7? Это 1+6= 2+5= 1+1+1+4 и т. д.

Подобным образом поступите со всеми числами, которые знает ребенок, разберите их на составляющие части. Потом эти знания хорошо применить в решении примеров.

Разберем такой пример:

4+9=

Второе слагаемое раскладываем на два составляющих числа, чтобы при сложении с первым слагаемым получить десятку, а потом прибавляем остаток:

4+(6+3)= 10+3=13, т. е. 4+9= 13

Закрепим знания еще несколькими примерами:

5+7=

5+(5+2)= 10+2= 12

или

8+9=

8+(2+7)= 10+7= 17

Таким же образом можно решать примеры с вычитанием:

16-7=

16-(6-1)= 10-1= 9

или

13-8=

13-(3-5)= 10-5= 5

То есть для того чтобы сделать вычисление, раскладываем второе слагаемое таким образом, чтобы при вычитании из первого слагаемого получилась десятка, а потом вычитаем оставшееся число.

Также удобно показать малышу работу со сложением и вычитанием в столбик. В таких примерах нагляднее видно десятки и единицы, что с чем складывать или вычитать.

Напоследок несколько рекомендаций родителям.

• Во время занятий математикой проявите терпение к своему маленькому ученику и не раздражайтесь от его непонимания, а тем более не кричите.
• Не давите на ребенка и не заставляйте заниматься, если ему не хочется. Отпустите его, ведь он все равно не сконцентрируется. А в следующий раз придумайте, как его заинтересовать занятиями.
• Контролируйте время занятий, не держите малыша часами за решением примера. 10-20 минут должно длиться одно занятие. Дети быстро теряют концентрацию, и долговременные занятия нельзя назвать эффективными.
• На досуге между делом постоянно тренируйтесь с малышом. Когда режете торт, считайте, сколько кусков получилось, когда сервируете стол, посчитайте количество гостей и попросите принести нужное количество тарелок и т. д.

Главное одно – спокойная обстановка, терпение и родительская любовь однажды все равно дадут положительный результат. Не равняйтесь на других, а занимайтесь своим ребенком. Помните, что все дети разные и всем нужен индивидуальный подход.

Основные этапы освоения счёта

Прежде чем начать процесс обучения, выясните его главные этапы. Всего их 5:

1. В 2-3 года малыш способен осознавать различия между понятиями мало, один/одна, много.
2. В 4 года ребёнок сможет посчитать 5-10 конкретных осязаемых и понятных предметов, но не абстрактных. Это реальные вещи, которые малыш видит и трогает, например, игрушки, фрукты, камушки или кубики.
3. В 5 лет девочка или мальчик уже способны хорошо считать до 10, делая это самостоятельно и без помощи взрослого: по собственной инициативе или же по чьей-то просьбе.
4. В 6 лет ребёнок может считать уже до 20-30. Также в этом возрасте можно начать освоение написания разных цифр. Шестилетняя девочка или мальчик могут не только запоминать, как цифровые символы выглядят, но и писать их самостоятельно, пусть неидеально. Также на данном этапе нужно знакомить ребёнка с понятиями равенства и меньше/больше. Например, чадо должно уравнивать группы предметов, перемещая элементы между ними. Также дочка или сын могут определять, где вещей больше, а где меньше (но не на глаз, а посредством счёта).
5. К 7 годам, то есть к началу периода посещения школы ребёнок может свободно считать до 100, а также готов осуществлять сложение и вычитание небольших чисел в пределах 10.

Учимся считать до 20

После освоения ребенком пальчикового счета до пяти и десяти и цифр первого числового ряда (обязательно убедитесь, что материал усвоен хорошо и малыш не путает последовательность) можно смело начинать изучать счет до 20. Делается это тоже достаточно легко – с применением такого метода:

• Сначала вам нужно объяснить ребенку, что числа, идущие после первых девяти, содержат по две цифры. Растолкуйте, что первыми цифрами в этих числах обозначаются десятки, а вторыми – единицы.
• Подготовьте две небольшие коробки или какие-то другие емкости, а также пару десятков предметов, лучше одинаковых. В первую коробку поместите 12, 13 или 14 предметов, а во вторую – 1, 2 или 3 предмета. Это нужно, чтобы ребенок наглядно увидел разницу.
• Следующим шагом будет рассказ малышу о том, что числа всегда идут в одной последовательности, т.е. после «10» идет «11», затем «12», потом «13» и т.д.
• Когда увидите, что юный математик усвоил основы счета до 20 и не путает последовательность чисел, начинайте давать ему небольшие задания на закрепление навыка. К примеру, попросите ребенка подать вам 14 пуговиц, 12 ягодок, 15 монеток и т.д.

4

Учим ребенка считать до 10

Научить ребенка считать до 10 проще всего. Для этого вам нужно всего-навсего играть с ним дома в несколько игр и с пользой проводить время:

• Сначала обучите малыша основам пальчикового счета, познакомив его с числами от «1» до «5». Но учитывайте, что приучить к счету на пальцах намного легче, чем отучить от него. Из-за невнимательности родителей даже многие пятиклашки нередко продолжают считать, используя пальцы. А это в свою очередь оказывает негативное влияние на дальнейшее развитие.
• Ищите или рисуйте сами картинки, на которых изображено от одного до пяти объектов. Но сами цифры пока не показывайте ребенку, т.к. он может запутаться. Помните, что использовать картинки эффективнее всего до трех лет.
• Устраивайте совместные просмотры развивающих телепередач и мультфильмов. Впрочем, при желании обучающие материалы можно найти в интернете.
• Время от времени используйте для обучения счеты. В магазинах товаров для детей сегодня можно найти множество их вариаций в самом разном исполнении (не забывайте, что приучать к счетам не нужно).
• Читайте малышу считалочки и стишки, где употребляется счет, фигурируют числа и другие элементы математики.
• В свободное время считайте все, что окружает вас дома, на улице, в магазине и т.д.
• Изучив первые пять цифр, переходите к изучению следующих пяти.

3

Счета порядковый и количественный — 5 отличий

Общего между ними только счет. Придется считать, чтобы получить в конечном итоге ответ на вопрос. Все остальное — отличия:

• цели;
• числительные;
• вопросы;
• направление;
• значение.

На первый взгляд сложно. Для малыша дошкольника может быть даже непостижимо, но стоит немного поиграть и все станет ясно!

Цели

Количественным счетом пользуются для подсчета чего-либо. Конечная цель — определить общее число. Порядковый счет нужен для определения номера предмета в упорядоченном множестве.

Простой пример. Разложите в ряд фрукты: яблоко, грушу, мандарин, апельсин и гранат. Количественный счет нам поможет посчитать сколько всего фруктов на столе — 5.

Порядковый нужен, чтобы определить порядковый номер каждого фрукта в ряду. Яблоко — первое, груша — вторая, мандарин — третий, апельсин — четвертый и гранат — пятый. То же самое можно сделать справа налево, порядковые номера фруктов в таком случае поменяются.

Числительные

Порядковый счет невозможен без числительных порядковых (указывают на порядок предмета в ряду последовательности), а количественный — количественных (указывают на количество).

Например, один, два, три — количественные, первый, второй, третий — порядковые числители.

Вопросы и ответы

Запомнить, чем отличается порядковый счет от числительного детям проще всего по вопросам. «Сколько?» — числительный, «какой, какую по счету?» — порядковый.

В эту игру с примерами можно играть целый день, пока ребенок не запомнит информацию. Задавайте вопросы обо всем, что его окружает. Например:

Сколько ножек у табуретки?

Сколько пальчиков на руке?

Сколько комнат в квартире?

или

Какой у нас этаж?

Какую по счету конфету ты ешь?

Направление

Чтобы посчитать сколько всего предметов не важно, как это делать справа налево или наоборот. Цель — определить общее количество

Узнать номер предмета в множестве можно только после указания направления. Порядковые номера меняются в зависимости от того, считать справа налево или наоборот.

Пример:

Покажешь третью птичку справа?

Какого цвета второй домик слева?

Это задачи для определения порядкового номера с указанием направления. Объясните ребенку, что общее число предметов от изменения направления не меняется.

Как научить считать до 20

Учить ребёнка счёту до 20 можно тогда, когда он уверенно будет считать до 10. Для быстрого и простого освоения счёта до 20 действуйте в такой последовательности:

1. Расскажите ребёнку, что такое ноль (если он ещё не знает), используя наглядные примеры. Например, покажите две книжки или два любых других одинаковых предмета, а потом уберите их. Объясните, что книжек было две, а теперь их стало ноль.
2. Покажите, как образуются новые числа — ребёнку легче будет понять принцип на примере чисел, оканчивающихся на ноль. Расскажите, что на древнерусском языке «дцать» значит десять и, соответственно, число 20 — это два десятка (нужно два раза досчитать до десяти).
3. Познакомьте ребёнка с понятием «состав числа» — тоже с помощью подручных предметов: счётных палочек, игрушек, фруктов. Положите 10 одинаковых предметов в один ряд, сверху поместите отличающийся от этих десяти предмет, например, счётную палочку другого цвета. Объясните ребёнку, что получилось число одиннадцать. Добавляя палочки сверху, покажите, как получаются 12, 13, 14, и остальные числа до 20.
4. Дайте ребёнку задание собрать определённое количество одинаковых предметов (16, 17, 18 и т.д.) например, мелкие игрушки, и вместе посчитайте количество предметов вслух.
5. Закрепите материал с помощью числовой прямой от 0 до 20 — так ребёнок научится считать до 20 гораздо быстрее. Числовую прямую можно начертить самостоятельно или использовать линейку длиной 20 сантиметров. Упражняясь с линейкой, малыш постепенно запомнит, как правильно пишутся числа и их верную последовательность.

Кошельки и монеты

Ограничение по памяти: 64 МБ

Программист Петя очень любит складывать все имеющиеся у него деньги в кошельки и фиксировать, сколько денег лежит в каждом кошельке. Для этого он сохраняет в файле набор целых положительных чисел — количество денег, которое лежит в каждом из его кошельков (Петя не любит, когда хотя бы один из его кошельков пустует). Петя хранит все деньги в монетах, номинал каждой монеты — 1 условная единица.

Однажды у Пети сломался блок магнитных головок и ему пришлось восстанавливать данные с жесткого диска. Он хочет проверить, корректно ли восстановились данные, и просит вас убедиться, что можно ту сумму денег, которая у него была, разложить во все его кошельки, чтобы получились те же числа, что и в восстановленном файле.

Формат входных данных

В первой строке выходных данных содержится натуральное число n (1 ≤ n ≤ 100) — количество кошельков у Пети.

Во второй строке через пробел записаны данные из восстановленного файла: n натуральных чисел a_i, каждое из которых означает, сколько денег лежит в i-м кошельке у Пети (1 ≤ a_i ≤ 100).

В третьей строке записано натуральное число m (1 ≤ m ≤ 104)— общая сумма денег, которая была у Пети до того, как он разложил ее по кошелькам.

Формат выходных данных

Если в восстановленном файле нет ошибки, и исходную сумму можно разложить по кошелькам с указанной конфигурацией, выведите Yes. Если такой конфигурации не может существовать, выведите No.

2
2 3
5

Yes

2
2 3
4

No

2
2 3
3

Yes

Примечания

В первом примере у Пети есть два кошелька, в первом лежат две монеты, во втором — три.
Конфигурации, приведенной во втором примере, не может существовать, поэтому файл восстановлен некорректно.

В третьем примере предложенная конфигурация возможна: во втором кошельке лежит одна монета и первый кошелек, внутри которого лежат две монеты.

Сложение и вычитание: эффективные способы обучения

К началу обучения в школе большинство детей уже умеют оперировать базовыми математическими действиями — сложением и вычитанием. Современная программа для первых классов построена так, что задачи на сложение и вычитание дают детям почти сразу — и научиться складывать и вычитать лучше успеть в дошкольном возрасте.

Как научить ребёнка сложению и вычитанию: первые шаги

Начните знакомство с базовыми математическими действиями с использования наглядных предметов — кубиков, счётных палочек или других, удобных для ребёнка:

• разберите цифру 2: покажите ребёнку, что если сложить один предмет и ещё один предмет — получится 2;
• таким же способом разберите по составу остальные цифры в пределах 10;
• убедитесь, что ребёнок понял принцип разбора и сам складывает предметы без ошибок;
• освоив сложение, переходите к вычитанию, используя те же наглядные предметы.

Сложение и вычитание на пальцах

Когда ребёнок научится складывать и вычитать предметы, переходите к сложению и вычитанию на пальцах — или пропустите этот этап, если сын или дочь бойко и уверенно складывают и вычитают все окружающие предметы. В любом случае проследите, чтобы малыш постепенно отучался от счёта на пальцах — педагоги замечают, что привычка считать на пальцах мешает детям научиться считать в уме.

Как научить ребёнка считать на пальцах:

1. Начните с пяти пальцев одной руки, придумывая интересные малышу задачки. Например, задача на сложение: «У тебя 2 машинки, поэтому разогни два пальчика. У братика 3 машинки, разогни ещё три пальчика. Всего у вас 5 машинок».
2. Предложите решать задачки на вычитание. Например: «У мамы 4 конфеты, разогни четыре пальчика. Мама дала тебе одну конфету, загни один пальчик. У мамы осталось 3 конфеты».
3. Когда ребёнок начнёт без ошибок складывать и вычитать в пределах пяти — переходите к аналогичным занятиям с подключением всех десяти пальцев.

Как научить ребёнка считать в уме

Умение складывать и вычитать в уме — один из самых полезных навыков для дошкольника, который сильно облегчит изучение математики в школе. Прежде чем учить ребёнка считать в уме, убедитесь, что он умеет складывать и вычитать предметы, и владеет счётом как минимум в пределах двадцати.

Как научить ребёнка считать в уме:

1. Создайте у ребёнка чёткую связь между числом и визуальным образом: подключите игры с математическим домино и кубиками. Можно использовать математический набор по методу Зайцева: набор карточек, который связывает число и геометрическую фигуру. Дети хорошо воспринимают занятия по методике Зайцева – постепенно так можно научиться сложению и вычитанию даже в пределах тысячи.
2. Научите ребёнка, если он ещё не знает, что такое «больше», «меньше», «поровну» с подключением наглядных примеров.
3. Уделите достаточно времени разбору числа. Чтобы сложить 4 и 3, ребёнок должен знать, что эти цифры «помещаются» в цифру 7. Тот же принцип работает с вычитанием: чтобы от 8 отнять 5, нужно знать, что 5 и 3 «помещаются» в 8.
4. Познакомьте ребёнка с правилом «от перемены мест слагаемых сумма не меняется».
5. Подключайте к обучению любые игровые пособия, которые понравятся малышу: кубики, таблицы, счётные палочки, карточки, тематические настольные игры.

Как научить ребёнка считать в столбик

Если ребёнок умеет считать до ста и хорошо понимает, что такое единицы и десятки — сложностей со счётом в столбик обычно не возникает.

Как научить ребёнка считать в столбик:

1. Объясните, что в столбик числа складывают и вычитают по разрядам: единицы — отдельно, десятки — отдельно.

2. Покажите последовательность действий, если при сложении единиц получается число больше или равное 10: нужно записать только вторую цифру, а первую — запомнить. Для удобства первую получившуюся цифру можно записать над разрядом десятков. Родители наверняка помнят со школьных времен выражение: «Два пишем — один в уме» (или другие цифры от 0 до 9). Пример: 17+15 = 7+5 = 12 (двойка записывается, единица уходит к десяткам) = 1+1+1 = 3 (итоговая сумма разряда десятков) = 32 (первая цифра — сумма разряда десятков, вторая цифра — сумма разряда единиц).

3. Научите ребёнка вычитать в столбик. Принцип действий почти тот же, что при сложении, только если верхняя цифра в единицах оказалась меньше нижней, то недостающую единицу нужно «занять» у десятков. Например: 31-13 = 11-3 = 8 («заняли» цифру 1 у десятков) = 2-1 = 1 (цифра 3 в десятках уменьшилась на «занятую» единицу) = 18.

Prodigy Math Game

Обучение в игровой форме — самое эффективное. Это доказано опытным путем и подтверждено многими учеными. Игру Prodigy уже протестировало миллионов человек. Секрет такой популярности достаточно прост — здесь вы будете проходить квесты, играть с другими пользователями и получать награды за достигнутый результат.

Студенты и школьники действительно смогут узнать что-то новое, потому что в Prodigy более 1 400 специальных задач под конкретно взятый уровень. Вы можете получить родительский аккаунт и отслеживать прогресс своего ребенка через свою учетную запись или приобрести премиум-аккаунт и заинтересовать своего ребенка еще больше, открыв доступ к домашним животным и другим игровым площадкам.

Приложение доступно для Android и iPhone.

Определение числа сочетаний

Пусть имеется $n$ различных объектов

Чтобы найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$, будем выбирать комбинации из $m$ объектов все возможными способами, при этом будем обращать внимание на разный состав комбинаций, но не порядок (он тут не важен, в отличие от размещений)

Например, есть три объекта <1,2,3>, составляем сочетания по 2 объекта в каждом. Тогда выборки <1,2>и <2,1>- это одно и то же сочетание (так как комбинации отличаются лишь порядком). А всего различных сочетаний из 3 объектов по 2 будет три: <1,2>, <1,3>, <2,3>.

На картинке наглядно проиллюстрировано получение всех возможных сочетаний из 4 различных объектов по 2 (их будет 6, см. калькулятор сочетаний ниже, который даст формулу расчета).

Общая формула, которая позволяет найти число сочетаний из $n$ объектов по $k$ имеет вид:

Перестановки из n элементов

Определение 3. Перестановкой из n элементов называется любой упорядоченный набор этих элементов.

Пример 7a. Всевозможными перестановками множества, состоящего из трех элементов <1, 2, 3>являются: (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (3, 2, 1), (3, 1, 2).

Число различных перестановок из n элементов обозначается P_n и вычисляется по формуле P_n=n!.

Пример 8. Сколькими способами семь книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение:эта задача о числе перестановок семи разных книг. Имеется P₇=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 способов осуществить расстановку книг.

Обсуждение. Мы видим, что число возможных комбинаций можно посчитать по разным правилам (перестановки, сочетания, размещения) причем результат получится различный, т.к. принцип подсчета и сами формулы отличаются. Внимательно посмотрев на определения, можно заметить, что результат зависит от нескольких факторов одновременно.

Во-первых, от того, из какого количества элементов мы можем комбинировать их наборы (насколько велика генеральная совокупность элементов).

Во-вторых, результат зависит от того, какой величины наборы элементов нам нужны.

И последнее, важно знать, является ли для нас существенным порядок элементов в наборе. Поясним последний фактор на следующем примере

Пример 9. На родительском собрании присутствует 20 человек. Сколько существует различных вариантов состава родительского комитета, если в него должны войти 5 человек? Решение: В этом примере нас не интересует порядок фамилий в списке комитета. Если в результате в его составе окажутся одни и те же люди, то по смыслу для нас это один и тот же вариант. Поэтому мы можем воспользоваться формулой для подсчета числа сочетаний из 20 элементов по 5.

Иначе будут обстоять дела, если каждый член комитета изначально отвечает за определенное направление работы. Тогда при одном и том же списочном составе комитета, внутри него возможно 5! вариантов перестановок, которые имеют значение. Количество разных (и по составу, и по сфере ответственности) вариантов определяется в этом случае числом размещений из 20 элементов по 5.

Задачи для самопроверки 1. Сколько трехзначных четных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, если цифры могут повторяться?

2. Сколько существует пятизначных чисел, которые одинаково читаются слева направо и справа налево?

3. В классе десять предметов и пять уроков в день. Сколькими способами можно составить расписание на один день?

4. Сколькими способами можно выбрать 4 делегата на конференцию, если в группе 20 человек?

5. Сколькими способами можно разложить восемь различных писем по восьми различным конвертам, если в каждый конверт кладется только одно письмо?

6. Из трех математиков и десяти экономистов надо составить комиссию, состоящую из двух математиков и шести экономистов. Сколькими способами это можно сделать?

Подсчет числа перестановок, размещений и сочетаний.

Ниже калькулятор, подсчитывающий число перестановок, размещений и сочетаний. Под ним, как водится, ликбез, если кто подзабыл.

Элементы комбинаторики. Перестановки, размещения, сочетания

Итак, есть множество из n элементов.

Вариант упорядочивания данного множества называется перестановкой (permutation). Например, есть множество, состоящее из 3 элементов — А, В, и С. Пример перестановки — СВА. Число всех перестановок из n элементов:

Пример: Для случая А, В, С число всех перестановок 3! = 6. Перестановки: АВС, АСВ, ВАС, ВСА, САВ, СВА

Если из множества n элементов выбирают m в определенном порядке, это называется размещением (arrangement). Пример размещения из 3 по 2: АВ или ВА — это два разных размещения. Число всех размещений из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 равно 3!/1! = 6. Размещения: АВ, ВА, АС, СА, ВС, СВ

Также бывают размещения с повторениями, как ясно из названия, элементы на определенных позициях могут повторяться. Число всех размещений из n по m с повторениями:

Пример: Для случая А, В, С число всех размещений из 3 по 2 с повторениями равно 3*3 = 9. Размещения: AA, АВ, АС, ВА, BB, ВС, СА, СВ, CC

Если из множества n элементов выбирают m, и порядок не имеет значения, это называется сочетанием (combination). Пример сочетания из 3 по 2: АВ. Число всех сочетаний из n по m

Пример: Для случая А, В, С число всех сочетаний из 3 по 2 равно 3!/(2!*1!) = 3. Сочетания: АВ, АС, СВ

Приведем до кучи формулу соотношения между перестановками, размещениями и сочетаниями:

Изучаем понятие «Столько же»

Приведу здесь несколько примеров наших самых первых игр с количествами (играли в них в возрасте около 2 лет):

Рассаживаем 2-3 игрушки за столом, сообщаем малышу, что у одной из них сегодня день рождения, поэтому всех гостей нужно накормить. Для начала вместе считаем, сколько всего гостей и со словами «Так, всего 3 гостя, значит, и тарелки нам понадобится тоже 3» отсчитываем с малышом три тарелки. Расставляем их гостям, проверяем, что всем хватило, а это значит что тарелок столько же, сколько игрушек. Аналогично можно давать задания и на раздачу ложек или стульев для игрушек.

Потом голосом куклы Маши говорим «А можно мне, пожалуйста, 3 грибочка». Отсчитываем Маше 3 гриба. Затем рассуждаем, что нужно бы лягушонку положить столько же, чтобы не обидеть. Отсчитываем и ему 3 гриба. Вновь закрепили понятие «столько же».

В игре можно использовать как любой подручный счетный материал (шишки, пуговки, счетные палочки), так и покупной (различные грибочки, морковки, помидорки; вот еще пример шикарного набора).

Не обязательно ограничиваться только темой чаепития, математику можно добавлять в любые сюжетно-ролевые игры. Например, поставить столько же домиков, сколько и зверушек, нарисовать столько же ягодок, сколько и ежиков на картинке и т.д. Главное, гармонично вплести задачу в сюжет игры, поведав историю о том, что зверушки остались без жилья и т.п.